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软件设计师案例分析每日一练试题内容（2026/5/29）

某工程计算中经常要完成多个矩阵相乘（链乘）的计算任务，对矩阵相乘进行以下说明。
（1）两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定，假设采用标准的矩阵相乘算法，计算Amxn*Bnxp需要m*n*p次行乘法运算的次数决定、乘法运算，即时间复杂度为O（m*n*p）。
（2）矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘时不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A15×100，A2100*8，A38x50三个矩阵相乘为例，若按（A1*A2）*A3计算，则需要进行5*100*8+5*8*50=6000次乘法运算，若按A1*（A2*A3）计算，则需要进行100*8*50+5*100*50=65000次乘法运算。
矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵，对较大的n，可能的计算顺序数量非常庞大，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2**An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1*A2*…*Ak和Ak+1*Ak+2*...*An两个子问题，则该最优解应该包含 A1*A2*…*Ak的一个最优计算顺序和 Ak+1*Ak+2*...*An  的一个最优计算顺序。据此构造递归式：

其中，cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*...Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
【C代码】
算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、…、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的语言实现。
（1） 主要变量说明
n：矩阵数
seq[]：矩阵维数序列
cost[i][j]：二维数组，长度为n*n，其中元素cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2**Aj+1的最优的计算代价。
trace[][]:二维数组，长度为n*n，其中元素trace[i][j]表示Ai+1*Ai+2**Aj+1的最优计算顺序对应的划分位置，即k。

（2）函数cmm
#define N100
int cost[N[N];
int trace[N][N];
int cmm(int n,int seq[]){
int tempCost;
int tempTrace;
int i,j,k,p;
int temp;
for( i=0;i for(p=1;p for(i=0; i（1）  ;
tempCost = -1;
for(k = i;  （2） ;k++){
temp=  （3）  ;
if(tempCost==-1 || tempCost>temp){
tempCost = temp;
tempTrace=k;
}
}
cost[i][j] = tempCost;
（4）  ;
}
}
return cost[0][n-1];
}

【问题1】（8分）
根据以上说明和C代码，填充C代码中的空（1）～（4）。
【问题2】（4分）
根据以上说明和C代码，该问题采用了（5）算法设计策略，时间复杂度为（6）（用O符号表示）。
【问题3】（3分）
考虑实例n=4，各个矩阵的维数为A1为15*5，A2为5*10，A3为10*20，A4为20*25，即维度序列为15，5，10，20和25。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为（7）（用加括号方式表示计算顺序），所需要的乘法运算次数为 （8）。

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